UNIVERSIDAD DE PANAMÁ
MATEMÁTICA FINANCIERA
MAT 155
GUÍA DE ESTUDIO AUTÓNOMO # 1
I. DATOS GENERALES.
1. Asignatura: Matemática 202 Módulo 2
2. Profesor: Samuel A. Castillo R.
3. Área: Matemática Financiera.
4. Tema: Interés Compuesto
5. Fecha de ejecución:
6. Valor:
7. Bibliografía: Víctor Manuel Aguilera G. Matemáticas Financiera.
Lincoyan Protus G. Matemáticas Financiera. Cuarta Edición.
Frank Ayres. Matemática Financiera
INTERÉS COMPUESTO
FUNDAMENTO TEÓRICO
El dinero y el tiempo son dos factores que se encuentran estrechamente ligados en la vida de las personas y de los negocios. Cuando se generan excedentes de efectivo, se ahorran durante un período determinado a fin de ganar un interés que aumente el capital original disponible; en otras ocasiones, en cambio se tiene necesidad de recursos financieros durante un tiempo y se debe pagar un interés por su uso (Díaz Mata & Aguilera Gómez, 2008).
En los problemas de interés simple el capital que genera los intereses permanece constante todo el tiempo de duración del préstamo.
Si en cada intervalo de tiempo convenido en una obligación se agregan los intereses al capital formando un monto sobre el cual se calcularán los intereses en el siguiente intervalo o período de tiempo y así sucesivamente, se dice que los intereses se capitalizan y que la operación financiera es a interés compuesto. En estas operaciones, el capital no es constante a través del tiempo, pues aumenta al final de cada período por la adición de los intereses ganados de acuerdo a la tasa convenida (Díaz Mata & Aguilera Gómez, 2008).
En períodos cortos se utiliza generalmente, como ya se vio, el interés simple. En períodos largos, sin embargo, se utilizará casi exclusivamente el interés compuesto.
NOMENCLATURA
C= representa el capital inicial, es decir, la cantidad que se invierte.
M= representa el capital más los intereses, es el valor final de la cantidad depositada al principio del período.
I= es el interés que se cobra o paga por el uso del dinero; es la diferencia entre el monto y el capital.
i= representa la tasa de interés que se paga o cobra por cada unidad monetaria y siempre es anual, salvo que se indique lo contrario.
n= representa el tiempo que dura la transacción: años, meses, semestres, bimestres, días, etc.
CONCEPTOS BÁSICOS PARA EL CÁLCULO DEL INTERÉS COMPUESTO
Período de Capitalización: es el intervalo de tiempo convenido en la obligación para capitalizar los intereses. El interés puede ser convertido en capital anual, semestral, trimestral, mensual, etc.
Frecuencia de conversión: es el número de veces que el interés se capitaliza durante un año.
Monto: el monto compuesto es el valor del capital final o capital acumulado después de sucesivas adiciones de los intereses.
Fórmula:
Capital: es el valor de un documento, bien o deuda, antes de la fecha de su vencimiento. Algunos sinónimos son: principal, valor actual, valor presente. Se expresa con la letra C.
Fórmula:
Tasa: es el interés fijado por período de capitalización
Fórmula:
Tiempo: es el tiempo total que dura la transacción.
Tasa Nominal, Tasa efectiva y Tasas equivalentes:
Tasa Nominal: es aquella que puede ser capitalizable varias veces en un año y se denomina con la letra j.
Tasa efectiva: es la que realmente actúa sobre el capital una vez en el año y se denomina con la letra i.
Tasas equivalentes: Se dice que dos tasas anuales de interés con diferentes períodos de capitalización son equivalentes si producen el mismo interés compuesto al final de un año.
Ecuación de valores equivalentes: Una ecuación de valores equivalentes es la que se obtiene al igualar en una fecha de comparación o fecha focal los flujos distintos de efectivo.
Un flujo de efectivo puede estar constituido por una o más cantidades que se pagan o se reciben en distintos momentos de tiempo.
SABERES A REFORZAR
Interés Compuesto: Monto o valor futuro, capital o valor presente, tasa de interés, tasa nominal, tasa efectiva, tasas equivalentes, tiempo y ecuaciones de valores equivalentes.
OBJETIVO
El estudiante analizará y comprenderá la teoría del Interés Compuesto; aplicará correctamente las fórmulas en la solución de ejercicios que le permitan calcular: monto, capital, tasa, tiempo, tasas, nominal, tasa efectiva, tasas equivalentes y ecuaciones de valores equivalentes, con la finalidad de evaluar los resultados que le servirá de base para una correcta toma de decisiones.
5 Ejemplos Resueltos de Interés Compuesto
Este documento contiene 5 problemas resueltos paso a paso utilizando el esquema de interés compuesto. Todas las fórmulas y operaciones matemáticas se encuentran insertadas con el formato de ecuaciones nativo de Microsoft Word para facilitar su edición.
La fórmula matemática general que rige el interés compuesto es:
Ejemplo 1: Calcular el Capital Final (Capitalización Anual)
Problema: Una persona deposita $5,000 en una cuenta de ahorros que ofrece un interés del 6% anual capitalizable anualmente. ¿Cuánto dinero tendrá al cabo de 4 años?
Datos:
l Capital inicial (C) = $5000
l Tasa de interés anual (i) = 0.06 (6%)
l Frecuencia de capitalización (n) = 1 (una vez al año)
l Tiempo (N) = 4 años
Procedimiento:
1. Al ser capitalización anual (n = 1)
2. Sustituyendo los valores en la ecuación: M
4. Multiplicando por el capital inicial para obtener el resultado final:
M
Resultado: El capital final acumulado al cabo de los 4 años será de $6312.38.
Ejemplo 2: Calcular el Capital Final (Capitalización Mensual)
Problema: Si inviertes $2,000 a una tasa de interés compuesto del 8% anual capitalizable mensualmente, ¿cuál será el monto final después de 5 años?
Datos:
l Capital inicial (C) = $2000
l Tasa de interés anual (i) = 0.08 (8%)
l Frecuencia de capitalización (n) = 12 (meses en un año)
l Tiempo (N) = 5 años (60 meses)
Procedimiento:
1. Calculamos primero la tasa de interés mensual (i/n) y el número total de períodos (N):
• Tasa mensual: 
N=60
C
3. Resolviendo la potencia de la base acumulada:
= 
Resultado: El monto final acumulado al término de los 5 años será de $2979.69.
Ejemplo 3: Calcular el Capital Inicial necesario (Valor Presente)
Problema: Deseas acumular un total de $10000 dentro de 3 años para comprar un auto. Si una cuenta bancaria te ofrece el 4% anual con capitalización trimestral, ¿cuánto debes depositar hoy?
Datos:
l Capital final deseado (;M) = $10000
l Tasa de interés anual (r) = 0.04 (4%)
l Frecuencia de capitalización (n) = 4 (trimestres en un año)
l Tiempo (N) = 3 años (3x4=12)
Procedimiento:
1. Despejamos el Capital Inicial (C) de la fórmula general:
2. Ajustamos los valores para el período trimestral:
• Tasa por trimestre: 
• Cantidad total de trimestres:N = 
3. Sustituyendo los datos en la fórmula despejada:
4. Resolviendo el denominador:
Resultado: Debes invertir hoy un capital inicial de $8874.49.
Ejemplo 4: Calcular el Tiempo de la inversión (Uso de Logaritmos)
Problema: ¿Cuánto tiempo (en años) debe pasar para que una inversión inicial de $3000 se duplique por completo ($6000) a una tasa de interés del 7% anual compuesto anualmente?
Datos:
l Capital inicial (C) = $3000
l Capital final (M) = $6000
l Tasa de interés anual (i) = 0.07 (7%)
l Frecuencia de capitalización (n) = 1 (anual)
Procedimiento:
1. Al despejar el tiempo (t) mediante logaritmos de la fórmula fundamental, obtenemos:
2. Sustituyendo los datos en la expresión:
N
3. Dividiendo ambos coeficientes numéricos:
Resultado: El dinero tardará aproximadamente 10.24 años en duplicarse (equivalente a 10 años y unos 3 meses).
Ejemplo 5: Calcular la Tasa de Interés aplicada
Problema: Un depósito inicial de $4000 se convirtió en $5200 después de transcurrir exactamente 2 años de capitalización anual. ¿Cuál fue la tasa de interés compuesto aplicada?
Datos:
l Capital inicial (C) = $4000
l Capital final (M) = $5,200
l Tiempo (N) = 2 años
l Frecuencia de capitalización (n) = 1 (anual)
Procedimiento:
1. Despejamos la tasa de interés (I)
2. 
Resultado: La tasa de interés compuesto aplicada en la operación financiera fue del 14.02% anual.
Ecuación de Valor con Interés Compuesto
Problema: Una empresa tiene dos deudas pendientes: una de $3,000 que vence en 3 meses y otra de $5,000 que vence en 8 meses. Para liquidarlas, acuerda realizar un único pago en el mes 6. Si la tasa de interés compuesto es del 12% anual capitalizable mensualmente, ¿de cuánto debe ser ese pago único (X)?
Planteamiento de la Ecuación de Valor (Fecha Focal: Mes 6)
Establecemos la igualdad donde la suma de los pagos debe ser igual a la suma de las deudas, moviendo cada flujo de efectivo hacia el mes 6:
l Deuda 1 ($3,000): Se mueve 3 meses hacia el futuro (capitalización).
l Deuda 2 ($5,000): Se mueve 2 meses hacia el pasado (descuento/valor presente).
l Pago Único (X): Se queda exactamente en su posición actual (mes 6).
Suma de Pagos = Suma de Deudas
X = 3000 * (1 + 0.01)3 + 5000 / (1 + 0.01)2
Resolución paso a paso
1. Calculamos el valor futuro de la primera deuda (capitalización de 3 meses):
3000 * (1.01)3 = 3090.90
2. Calculamos el valor presente de la segunda deuda (descuento de 2 meses):
5000 / (1.01)-2 = 4901.48
3. Sumamos ambos resultados para encontrar el valor final del pago único X:
X = 3090.90 + 4901.48
X = 7992.38
Resultado Final: El pago único que la empresa debe realizar en el mes 6 para saldar sus deudas es de $7,992.38.
EJERCICIOS PRÁCTICOS
1.- Se depositan $500 en un banco a una tasa de interés de 18% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto acumulado en 2 años? R= $ 714.75
2.- Determine el monto acumulado de $50 000 que se depositan en una cuenta de valores que paga 15% anual convertible mensualmente:
a) Al cabo de 1 año
b) Al cabo de 2 años
c) Al cabo de 3 años
d) Al cabo de 5 años
R= a) $58 037.72; b) $67 367.55; c) $78 197.19; d) $105,359.06
3.- Obtenga el monto que se acumula en 2 años si un capital de $65 000 se invierte al 40% capitalizables por semestres.
R= $134 784
4.- ¿Cuánto se acumula en una cuenta de ahorros que reditúa el 18.6% anual capitalizable por bimestres en un plazo de 2 años, si se invierten $35,000? R= $50,486.12
5.- El señor Patricio Ramos depositó $20 000.00, en un banco que paga una tasa de interés de 8%. ¿Cuánto tendrá el señor Ramos dentro de 10 años, si la capitalización es anual? R= $43 178.49
6.- ¿Cuánto dinero debe pagarse a un banco que realizó un préstamo de $300 000,00 si al cabo de un año se reembolsa el capital e interés y la tasa aplicada es de 24% anual convertible trimestralmente? R= $378 743.09
7.- ¿Qué capital debe invertirse en una cuenta que paga 33.6% anual capitalizable por meses, para disponer de $13000 en 7 meses? R= $10 714.98
8.- ¿En cuánto tiempo se triplica un capital que se invierte al 28,5% anual compuesto por semanas?
R= aproximadamente 201 semanas
9.- ¿Con qué tasa de interés anual compuesto por quincenas se triplica un capital en dos años?
R = 55.46 % anual cap. Quincenal
10.- ¿Cuánto debe invertir una persona hoy al 4.6% anual capitalizable trimestralmente para tener $150000,00 en su cuenta dentro de 2 años? R= $136,887.62
11.- Lupe desea adquirir un terreno con valor de $350,000.00, le pidieron que entregue 40% de anticipo y el resto a dos años y medio. ¿Cuánto debe depositar Lupe en el banco el día de hoy para poder garantizar la liquidación de su adeudo, si la tasa de interés vigentes es de 30% anual convertible trimestralmente?
R= $101 890.72
12.- ¿Cuánto debe depositar una persona el día de hoy si desea tener un monto de $500,000.00 dentro de 3 años, si la tasa vigente del mercado es 13% anual capitalizable semestralmente? R= $342 667.06
13.- Una persona tiene una deuda de $300,000.00 con intereses al 5% anual convertible semestralmente pagadero a 3 años. Suponiendo una tasa del 4%, encontrar el valor actual de la deuda. R= $309 288.97
14.- Calcular el monto de un capital de $150,000.00 depositado al 3.8% trimestral durante seis trimestres y calcular los intereses ganados. R= $ 187 618.35; $ 37 618.35
15.- El Sr. Ramos, depositó $20,000.00 en un banco que paga una tasa de interés de 8%. ¿Cuánto tendrá Ramos de 10 años, si la capitalización es anual? R= $ 43 178.50
16.- El Sr. Miramón, depositó en una cuenta de inversión $ 50,000.00, a 6 años, si el banco paga una tasa de interés de 12% y la capitalización es semestral, ¿ Cuánto tendrá el señor Miramón dentro de 6 años?
R= $100 609.82
17.- El señor Raymundo debe $50,000.00, cantidad que tendrá que pagar dentro de 3 años, si la tasa de interés es de 12% y la capitalización es anual. ¿Cuál es el valor presente de la deuda, es decir, su valor al día de hoy? R= 35 589.01
18.- ¿Cuál era la población de un país hace 10 años si en la actualidad tienen 81 765 000 habitantes y su tasa de crecimiento se estima en 3.2% anual? R= 59 671,983
19.- ¿Cuál fue la tasa de interés a la que se pactó una inversión por $50,000.00 si al cabo de 6 años se recibieron $100 609.82, tomando en cuenta que la capitalización fue semestral?
R= 6% semestral
20.- Por un documento de $600 000.00 con vencimiento a 2 años, 4 meses de la fecha, nos ofrecen pagar $350 000.00. ¿Cuál es la tasa de interés bimestral que nos resulta?
R= 3.92505% bimestral
21.- ¿Cuál fue el tiempo en que se pactó una inversión por $80,000.00, si la tasa de interés fue de 15%, con capitalización trimestral, si al final se recibieron $167,052.16?
R= 5 años
22.- ¿Cuánto tiempo debe estar invertido un capital de $160,000.00 para que junto con sus intereses sea de $ 500,000.00 si acumula intereses al 9% semestral?
R= 13.2219 semestres
23.- ¿En qué tiempo se duplica una inversión que acumula intereses al 17% anual?
R= 4.4148 años o 4años 4 meses 29 días
24. ¿Qué cantidad se debe depositar para que, junto con sus intereses, al 1
% mensual nos dé en 5 años un monto de $ 1, 250,000.00?
R= $ 638,848.58
25.- ¿Cuánto vendía una compañía hace dieciocho (18) meses si las incrementó en 7% trimestral y actualmente vende $4 580 000.00? R= $3 051 847.38
26.- ¿Qué tasa anual promedio de incremento poblacional tiene un país que en siete años paso de 16 525 000 habitantes a 21 024 415?
R= 0.035 anual; 3.5% anual
27.- ¿En cuánto tiempo la población de un país de 40 000 000 de habitantes llegará a 44 500 000 si su tasa de crecimiento es de 2.8% anual? R= 3.86055 años (3 años 10 meses 9 días)
28.- M debe $1000.00 pagadero en 2 años y $3000.00 pagaderos en 5 años. Acuerdan que M liquide sus deudas mediante un pago único al final de 3 años sobre la base de un rendimiento de 6% convertible semestralmente R= $3,726.36
29.- M debe $1 000.00 pagadero en 1 año y $3 000.00 pagaderos en 4 años. Acuerda pagar $2 000.00 de inmediato y el resto en 2 años ¿cuánto tendrá que pagar al final del segundo año suponiendo un rendimiento de 5% convertible semestralmente?
R= $1,560.85
30.- ¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de préstamo si ha firmado un documento por $65,000.00 que incluye capital e intereses al 30% convertible trimestralmente y tiene vencimiento en 18 meses?
R= $42,117.50
31.- El señor Suárez invirtió $40,000 a 2 años a una tasa de interés del 12% con capitalización diaria ¿Cuánto tendrá dentro de 2 años?
R= $50847.93
32.- Una persona le debe al banco $150,000.00 pagaderos en un año y $200,000.00 pagaderos en 6 años. Acuerda con el banco liquidar sus deudas mediante un pago único al cabo de 4 años sobre la base de un rendimiento de 6% anual convertible mensualmente. ¿Cuál es el valor de ese pago? Fecha focal: al cabo de 4 años
R= $356,939.21
